問題
正の整数 \(x,y,z\) を用いて
$$N=9z^2=x^6+y^4$$
と表される正の整数 \(N\) の最小値を求めよ。
答案例
$$N=9z^2=x^6+y^4 \tag{1}$$
\(N=9z^2\) より \(N\) は \(z\) の増加関数であるため、 \(N\) の最小値は \(9z^2=x^6+y^4\) を満たす \(z\) の最小値により与えられる。
式(1)より、
$$9z^2=x^6+y^4 \tag{2}$$
$$\Rightarrow 0\equiv (x^3)^2+(y^2)^2 \pmod 3 \tag{3}$$
が成立する。
ここで、自然数 \(n\) に対し、
$$n^2\equiv \begin{cases} 0\space (n\equiv 0)\\1\space (n\equiv \pm 1) \end{cases} \pmod 3$$
が成立するため、式(3)より
$$(x^3)^2\equiv (y^2)^2\equiv 0 \pmod 3$$
$$\Rightarrow x\equiv y\equiv 0 \pmod 3$$
が成立する。自然数 \(a,b\) により \(x=3a,y=3b\) とおくと、式(2)より
$$9z^2=3^6a^6+3^4b^4$$
$$\Rightarrow z^2=3^4a^6+3^2b^4 \tag{4}$$
が成立し、
$$式(4)\Rightarrow z^2\equiv 0 \pmod 3$$
$$\Rightarrow z\equiv 0 \pmod 3$$
であることから、自然数 \(c\) により \(z=3c\) とおける。このとき式(4)より
$$3^2c^2=3^4a^6+3^2b^4$$
$$\Rightarrow c^2= 9a^6+b^4 \tag{5}$$
と表現できる。 \(a,b\) は自然数であることから、
$$c^2\ge 9\cdot 1^6+1^4=10$$
$$\Rightarrow c\ge 4$$
である。
(I)式(5)に \(c=4\) を代入すると、
$$16=9a^6+b^4>9a^6$$
より式(5)を満たす \(a\) は \(a=1\) に限定されるが、このとき
$$b^4=16-9\cdot 1^6=7$$
となり、これを満たす自然数 \(b\) は存在しないため不適。
(II)式(5)に \(c=5\) を代入すると、
$$25=9a^2+b^4>9a^6$$
より \(a=1\) であり、このとき
$$b^4=25-9\cdot 1^6=16$$
$$\Rightarrow b=2$$
となるため、 \((a,b,c)=(1,2,5)\) は式(5)の解の一つである。
以上(I)(II)より、式(4)を満たす \((x,y,z)=(3a,3b,3c)\) のうち \(z\) が最小になるのは
$$(x,y,z)=(3\cdot 1,3\cdot 2,3\cdot 5)=(3,6,15)$$
である。よって、求める \(N\) の最小値は、
$$N=9\cdot 15^2=2025$$
である。
解説
平方数を題材とした整数問題です。
まずは状況を整理します。与えられた \(N=9z^2=x^6+y^4\) は等号 \((=)\) が2個含まれいているため、まず初めに2本の等式に分解します。
$$N=9z^2=x^6+y^4$$
$$\Leftrightarrow N=9z^2\space かつ\space 9z^2=x^6+y^4$$
\(N=9z^2\) という表式から \(N\) は \(z\) の増加関数となっているので、 \(N\) の最小値を知るためには \(z\) の最小値を求めればよいことが読み取れます。
よって、本問は、
$$①9z^2=x^6+y^4\space を満たすzの最小値を求める。$$
$$②求めたzの最小値を\space N=9z^2\space に代入する$$
という流れで解くことにします。
\(9z^2=x^6+y^4\) となる自然数 \((x,y,z)\) が満たすべき条件(必要条件)について検討します。整数問題は、①大きさ②余り(mod)③約数の3点をこの順番で検討していくのが大原則となります。
まず①大きさについて、 \(x,y\) は自然数なので、右辺の最小値は \(1^6+y^4=2\) となり、
$$9z^2\ge 2\Rightarrow z\ge 1$$
という不等式が得られます。ゴミです。次行きましょう。
次に②余り(mod)について考察します。modの考察は下記の要領で進めるとよいでしょう。
- 小さい数から順に考察する : \(\pmod {2,3,4,…}\)
- 式中に数字が含まれていれば、優先的に検討する。
- 式中に素数 \(p\) が含まれる→ \(\pmod {2,3,6}\)
$$\begin{cases}p\equiv 0 \pmod 2 \Leftrightarrow p=2 \\p\equiv 0 \pmod 3 \Leftrightarrow p=3 \\p\equiv \pm 1 \pmod 6 \Leftrightarrow p\ge 5 \end{cases}$$ - 式中に平方数が含まれる→ \(\pmod {3,4}\)
$$\begin{cases}n^2\equiv 0\Leftrightarrow n\equiv 0 \\n^2 \equiv 1\Leftrightarrow n\equiv \pm 1 \end{cases} \pmod 3$$
$$\begin{cases}n^2\equiv 0\Leftrightarrow n\equiv 0,2 \Leftrightarrow n:偶数\\n^2\equiv 1\Leftrightarrow n\equiv \pm 1 \Leftrightarrow n:奇数\end{cases} \pmod 4$$ - 式中に指数関数 \(n^m\) が含まれる→ \(\pmod {n-1,n,n+1}\)
$$n^m \equiv \begin{cases} 1 \space (\pmod {n-1})\\0 \space \pmod n\\(-1)^m \pmod {n+1} \end{cases} (m\ge 1、n\ge 3)$$
modのテクニックは上記を抑えておけば殆どの問題に対応できると思います。
本問の場合は、 \(9z^2=x^6+y^4\) の式中に \(9=3^2\) という数字が見えるので、 \(\mod 3\) で検討してみます。
$$9z^2=x^6+y^4\Rightarrow 0\equiv x^6+y^4 \pmod 3$$
上式について、 \(x^6,y^4\) はどちらも平方数であることに注目します。上で示した通り、平方数を \(3\) で割った余りは必ず \(0\) か \(1\) になるので、
$$(x^6,y^4,x^6+y^4)\equiv (0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,2) \pmod 3$$
の4通りに限定されます。このうち \(x^6+y^4\equiv 0\) となるのは1通りだけなので、
$$x^6+y^4 \equiv 0 \pmod 3$$
$$\Rightarrow x^6\equiv y^4\equiv 0 \pmod 3$$
$$\Rightarrow x\equiv y\equiv 0 \pmod 3$$
が成立し、 \(x,y\) はどちらも \(3\) の倍数であることが導かれます。 \(x,y\) は自然数なので、自然数 \(a,b\) を用いて \(x=3a,y=3b\) とおくことができます。これを与式に代入すると、
$$9z^2=(3a)^6+(3b)^4$$
$$\Leftrightarrow z^2=3^4a^6+3^2b^4$$
と変形できます。右辺は \(3\) の倍数なので、この式も \(\mod 3\) を適用すると、
$$z^2=3^4a^6+3^2b^4\equiv 0 \pmod 3$$
$$\Rightarrow z\equiv 0 \pmod 3$$
より \(z\) も \(3\) の倍数であることが示されます。自然数 \(c\) により \(z=3c\) とおけば、
$$(3c)^2=3^4a^6+3^2b^4$$
$$\Leftrightarrow c^2=9a^6+b^4$$
と表せます。 \(\mod 3\) の検討はこの辺りで終了でいいでしょう。
さて、 \(c^2=9a^6+b^4\) を満たす \(c\) の最小値を求めていきます。改めて①大きさについて検討すると、右辺 \(9a^6+y^4\) の最小値を考えれば、
$$c^2\ge 9\cdot 1^6+1^4=10$$
が必要であることから、 \(c\ge 4\) であることがわかります。許される \(c\) の下限が判明したので、あとは \(c=4,5,6,…\) と順に代入していけば \(c\) の最小値に辿り着けそうです。
\(c=4\) とすると、
$$16=9a^6+y^4$$
となります。右辺は \(a\ge 2\) のとき \(9\cdot 2^6\) より大きな値となり、明らかに \(16\) より大きいのでNG。従って \(a=1\) に限定されますが、このとき
$$b^4=16-9\cdot 1^6=7$$
となるのでNG。よって \(c=4\) はNGということになります。
\(c=5\) とすると、
$$25=9a^2+b^4$$
先ほどと同じ理屈で \(a=1\) に限定されるので、
$$b^4=25-9\cdot 1^6=16\Rightarrow b=2$$
となり整数解が求まるので、 \(c^2=9a^6+b^4\) の整数解で \(c\) が最小になるのは
$$(a,b,c)=(1,2,5)$$
となります。
\(c\) の最小値が \(5\) なので、与式を満足する \(z\) の最小値は \(z=3\times 5=15\) となります。
最後に \(z=15\) のときの \(N\) の値を求めれば終了です。
$$N=9\times 15^2=2025$$
お疲れ様でした。
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