こんにちは。今回は2023年東工大数学大問1について解説します。
問題
実数
$$\int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx$$
の整数部分を求めよ。
答案例
\(I=\int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx\) とおき、 \(I\) の整数部分を求める。
被積分関数 \(\frac{2}{x+e^{x}}\) について、 \(0<x<2023\) でつねに \(x+e^x>e^x>0\) であることから、
$$0<\frac{2}{x+e^x}<\frac{2}{e^x} \space (0<x<2023)$$
が成立するため、辺々を \(0<x<2023\) で積分すれば、
$$0<\int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^x}dx<\int_{0}^{2023}\frac{2}{e^x}dx=[-2e^{-x}]_{0}^{2023}=2-2e^{-2023}<2$$
$$∴ 0<\space I<2$$
が得られる。よって求める整数部分は \(0\) または \(1\) である。
いま、関数 \(f(x)\) を
$$f(x)=xe^{-x}+1 \space (0\le x)$$
とおくと、
$$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$
より \(f(x)\) は \(0<x<1\) で増加、 \(1<x\) で減少するため、最大値は \(f(1)=e^{-1}+1\) となる。 \(f(0)=1\) 、 \(f(2023)=2023e^{-2023} +1\) であることから、 \(0\le x\le 2023\) における \(f(x)\) の値域は
$$1\le f(x) \le e^{-1}+1 \space (0\le x\le 2023) \tag{1}$$
となる。式(1)より、
$$\frac{2}{e^{-1}+1}\le \frac{2}{f(x)}=\frac{2}{xe^{-x}+1} \space (0\le x\le 2023)$$
$$\Rightarrow \frac{2}{e^{-1}+1}e^{-x}\le \frac{2}{x+e^x} \space (0\le x\le 2023) \tag{2}$$
となるので、式(2)両辺を \(0\le x\le 2023\) で積分すれば、
$$ \int_{0}^{2023}\frac{2}{e^{-1}+1}e^{-x}dx\le \int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^x}dx $$
$$\Rightarrow \frac{2}{e^{-1}+1}(1-e^{-2023})\le I \tag{3}$$
が成立し、
$$\frac{2}{e^{-1}+1}(1-e^{-2023})-1=\frac{2-2e^{-2023}-e^{-1}-1}{e^{-1}+1}$$
$$=\frac{1-\frac{1}{e}-\frac{1}{e^{2023}}}{e^{-1}+1}$$
$$>\frac{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2023}}}{e^{-1}+1}=\frac{1}{e^{-1}+1}\frac{2^{2022}-1}{2^{2023}}>0$$
$$\Rightarrow 1<\frac{2}{e^{-1}+1}(1-e^{-2023}) \tag{4}$$
なので、式(3)(4)より、
$$1<I$$
$$∴ \space 1<I<2$$
が言える。以上より、求める整数部分は \(1\) である。
解説
シンプルな積分評価の問題です。
与えられた定積分 \(\int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx(=Iとおきます)\) を直接計算するのが無理なことはすぐにわかります。本問のゴールは「整数部分」なので、 \(I\) が「だいたいどのくらいの大きさなのか」という概算の考え方が問われています。
\(I\) の大きさをざっくり見積もるために、被積分関数 \(\frac{2}{x+e^x}\) の挙動について考えてみます。分母 \(x+e^x\) に着目すると、積分区間\(0<x<2023\) において \(x\) がある程度大きくなると \(x<<e^x\) となることは肌感覚でわかるので、「 \(x+e^x \to e^x\) に置き換えて積分してもだいたい同じ値が得られるのでは？」と推測できます。このような大雑把な数値感覚が本問のキーポイントになります。
試しに \(x+e^x>e^x\) を利用して評価してみると、
$$x+e^x>x \space (0<x<2023) \Rightarrow \frac{2}{x+e^x}<\frac{2}{e^x} \space (0<x<2023)$$
$$\Rightarrow I<\int_{0}^{2023}\frac{2}{e^x}dx=2-2^{-2023}<2$$
という不等式が立ちます。 \(I>0\) は明らかなので、 \(I\) の整数部分は \(0\) か \(1\) に絞られます。あとは \(I\) が \(1\) より大きいのか小さいのかを特定できればゴールです。
さて、ここまでで \(I\) を上から評価することには成功したので、今度は \(I\) を下側から評価できないか考えてみます。
改めて被積分関数を眺めてみます。分母 \(x+e^x\) は指数関数 \(e^x\) に対して一次式 \(x\) は無視できるほど小さいので \(e^x≃x+e^x\) となるんでした。これを深掘ってみます。
分母を \(x+xe^x=e^x(xe^{-x}+1)\) という風に \(e^x\) を括ってみると、先ほどの知見より \(e^x\) の係数部分 \(xe^{-x}+1\) はほとんど \(1\) みたいな値をとるわけです。つまり、 \(xe^{-x}\) は \(1\) に対してほんの僅かな影響しか及ぼさない小さな値となるため、関数 \(xe^{-x}+1\) の最小値、最大値をそれぞれ \(m,M\) とした場合、 \(m\) も \(M\) も \(1\) に近い値になるんじゃないか？と推測できる訳です。この着眼点が本記事の肝です。
関数 \(f(x)\) を \(f(x)=xe^{-x}+1\) とすると、区間 \(0\le x\le 2023\) における値域は \(1\le f(x) \le e^{-1}+1\) になります(計算過程は答案例参照)。最大値の \(e^{-1}+1\) を利用すれば、
被積分関数を上側から抑えることが可能になります。
$$f(x)\le e^{-1}+1 \Rightarrow \frac{2}{e^{-1}+1}\le \frac{2}{f(x)}$$
$$\Rightarrow \frac{2}{e^{-1}+1}e^{-x}\le \frac{2}{e^xf(x)}=\frac{2}{x+e^x}$$
これを積分すれば、
$$\int_{0}^{2023}\frac{2}{e^{-1}+1}e^{-x}dx<I$$
$$\Rightarrow \frac{2}{e^{-1}+1}(1-e^{-2023})<I$$
となり、 \(I\) の下側評価式がゲットできる訳です。
あとは神頼みです。 \(I\) と \(1\) の大小関係を特定したいので、下側の \(\frac{2}{e^{-1}+1}(1-e^{-2023})\) と \(1\) の大小関係を調べます。
\(\frac{2}{e^{-1}+1}(1-e^{-2023})-1\) を計算して \(>0\) になればOK、 \(<0\) になれば評価しなおしです。
今回は幸いにも \(\frac{2}{e^{-1}+1}(1-e^{-2023})-1>0\) となってくれたため、不等式 \(1<I<2\) が成立し、 \(I\) の整数部分は \(1\) と特定できます。
解説は以上です。お疲れ様でした。
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