こんにちは。今回は2025年東大理系数学の大問2について、平均値の定理を活用した解法を紹介します。
問題
(1) \(x >0 \) のとき、不等式 \(\log x \le x-1 \)を示せ。
(2) 次の極限を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty}n\int_{1}^{2} \log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2} dx $$
答案例
(1) \( f(x) = x-1-\log x\) (\(x>0\))とおくと、
$$ f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$
より、\(f(x)\) は \(0<x<1\) で減少し、\(1<x\) で増加するため、\(x >0\) でつねに
$$ f(x) \geq f(1)=1-1-\log 1=0$$
$$\Leftrightarrow \log x \le x-1$$
が成立する。（終）
(2) \(I=n\int_{1}^{2} \log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2} dx\) とおく。\(h=\frac{1}{n}\) (>0) とおくと、\(n\rightarrow \infty\) の極限において \(h\rightarrow 0\) に収束し、\(I\) は
$$I=\frac{1}{h}\int_{1}^{2} \log \frac{1+x^h}{2} dx$$
$$=\int_{1}^{2}\frac{\log (1+x^h)-\log 2}{h} dx$$
と表すことができる。ここで、\(1\le x\le 2\) で固定した \(x\) に対し、\(t\ge 0\) の関数 \(g_x (t)\) を
$$ g_x (t)=\log (1+x^t)$$
で定めると、Iは
$$I=\int_{1}^{2} \frac{g_x (h)-g_x (0)}{h}dx$$
と表現できる。被積分関数を平均値の定理を利用して評価する。
\(g_x (t)\) は \(t\) の連続関数であり、\(t\) で微分すると、
$$g’_x (t)=\frac{\log x}{1+x^t}x^t>0$$
$$g”_x (t)=\frac{(\log x)^2}{(1+x^t)^2}x^t>0$$
となることから、\(g_x (t)\) と \(g’_x (t)\) はともに単調増である。平均値の定理より、\(0<c<h\) を満たす実数 \(c\) で、
$$\frac{g_x (h)-g_x (0)}{h}=g’_x (c)$$
となるものが存在し、 \(g’_x (t)\) の単調増加性から、
$$g’_x (0)< g’_x(c)=\frac{g_x (h)-g_x (0)}{h}< g’_x (h)$$
$$\Rightarrow \frac{\log x}{2}< \frac{\log (1+x^h)-\log 2}{h}< \frac{x^h}{1+x^h}\log x$$
$$\Rightarrow \frac{\log x}{2}< n\log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2}< \frac{x^\frac{1}{n}}{1+x^\frac{1}{n}}\log x \tag{1}$$
が成立する。(1)式右端については、\(1\le x\le 2\) に対し
$$\frac{x^\frac{1}{n}}{1+x^\frac{1}{n}}\log x = \frac{1}{x^{-\frac{1}{n}}+1}\log x \le \frac{1}{2^{-\frac{1}{n}}+1}\log x \tag{2}$$
が成立するため、(1)(2)より
$$ \frac{\log x}{2}< n\log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2}< \frac{1}{2^{-\frac{1}{n}}+1}\log x \tag{3}$$
が得られ、(3)式辺々を \(1\le x\le 2\) で積分すれば、
$$ \frac{1}{2}\int_{1}^{2} \log x< \int_{1}^{2}n\log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2}< \frac{1}{2^{-\frac{1}{n}}+1}\int_{1}^{2}\log x \tag{4}$$
と評価できる。(4)式右端は\(n\rightarrow \infty\)の極限で\(\frac{1}{2}\int_{1}^{2} \log x\)に収束することから、はさみうちの原理より、
$$\lim_{n \to \infty}n\int_{1}^{2} \log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2} dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{2} \log x$$
$$=\frac{1}{2}[x\log x-x]_1^2$$
$$=\log 2 -\frac{1}{2}$$
と求まる。
解説
(1)
特にコメントはありません。
(2)
定積分を絡めた極限の問題です。「極限を求める=不定形を解消する」の大原則に従い、まずは不定形の型を確認します。
与式をみると、∫とdxの間にあるlogは、真数が→1に収束するタイプの極限を持つため、被積分関数は→0に収束することがわかります。これに無限大に発散する係数 \(n\) が掛け合わされているため、\(\infty \times \log 1\)のタイプの不定形として考えることができます。
\(\infty \times \log 1\) 型の不定形を解消するときに利用頻度の高いテクニックとして、①ネイピア数の定義に帰着する②微分係数の定義に帰着する、の2通りが挙げられますが、いずれも手計算でダイレクトに極限を求める手法であるため、本問のような「積分→極限」のプロセスを踏む問題では使えません。
そこで、本問では上記②の代替策として「平均値の定理」を活用します。通常の極限計算では平均値の定理は②の下位互換でしかありませんが、本問の場合は絶大な威力を発揮します。
改めて与式をみてみます。∫dx内のlogは真数部分が分数の形式になっているので、このような場合は
$$\log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2}=\log (1+x^\frac{1}{n})-\log 2$$
のように「比→差」に変換して考えるのが定石かと思います。また、∫の外に係数として掛けられている\(n\)は→∞に発散するのに対し、被積分関数中では\(\frac{1}{n}\)という→0に収束する形が登場するため、どちらか一方に統一した方がわかりやすそうな感じです。この発想をもとに
$$n\log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2}=\frac{\log (1+x^\frac{1}{n})-\log 2}{\frac{1}{n}}$$
と変形すると、なんだか見覚えのある表式に辿り着きます。\(\frac{1}{n}\) を0に収束する変数 \(h\) に置き換えると、被積分関数は、
$$\frac{\log (1+x^h)-\log (1+x^0) }{h}$$
となります。ここまで変形すれば、上の式を関数 \(g(t)=\log (1+x^t)\) の区間[\(0,h\)]における平均変化率とみて図形的に考察するという発想が自然と浮かんでくるかと思います。
ちなみに、上の式を積分せずにそのままh→0の極限をとると、
$$\lim_{h \to 0}\frac{g(h)-g(0)}{h}=g'(0)=\frac{(\log x)x^0}{1+x^0}=\frac{\log x}{2}$$
となり、平均変化率の極限=微分係数が得られますが、くどいようですが本問は「積分→極限」の順番を崩せないので、極限をとらずに平均変化率のまま考察する必要があります。また、この考察で変数とみるべき文字は\(t\)であり、\(x\)は積分区間[1,2]のどこかにある未知定数として考えるということにも注意が必要です。答案例では\(x\)が定数であることを強調する目的で、関数\(g\)は添え字に\(x\)をつけて\(g_x (t)\)というふうに表記しました。
ということで、ここからは関数 \(g(t)\) の平均変化率について考察を進めます。目的は「平均変化率の大小を比較する」ことにあるので、微分係数の増減に関する情報が欲しくなることを見越して2階の微分を行います。定義域はいったん \(t\ge 0\) としておきます。
1階微分は
$$g'(t)=\frac{d}{dt}\log (1+x^t)=\frac{d(e^{t\log x})}{dt}\frac{d}{dx^t}\log (1+x^t)=\frac{x^t \log x}{1+x^t}$$
となります。tで微分するため\(x^t\)を指数関数として微分することになります。公式を忘れた場合は、対数の定義から \(x = e^{\log x} \)であることを思い出せば自力で導けます。
\(1\le x\le 2\) より \(\log x \ge 0\) なので、常に \(g'(t)\ge 0\) ⇒ \(g(t)\) は単調増。
続いて二階微分も行います。
$$g”(t)=\frac{d}{dt}(1-\frac{1}{1+x^t})\log x=\frac{x^t (\log x)^2}{(1+x^t)^2}\ge 0$$
二階微分も正なので、\(g(t)\)も単調増であることがわかりました。
ここまでの考察で \(g(t)\) が下に凸の単調増加関数であることがわかったので、グラフを描けば[0,h]の平均変化率が \(g'(0)\) より大きく \(g'(h)\) より小さいことを視覚的に理解することができます。即ち
$$g’ (0)< \frac{g (h)-g (0)}{h}< g’ (h)$$
の成立が示されることになります。このあたりの内容はグラフで十分に説明可能なので、ある程度日本語の記述を削っても減点されないと思います。実際に答案を作成する際はグラフに説明を任せて省エネすることを推奨します。平均値の定理の出番はありません。
本記事においてもグラフ等の視覚的な情報を交えた解説が期待されるところですが、本記事執筆者の文書作成スキルは文書中に画像データを挿入するだけの作業に苦戦を強いられるレベルのク○雑魚っぷりであり、グラフを用いた説明が困難極まる状況にあります。従って、本記事では平均値の定理の力による文字情報のみでの証明を試みることとします。
平均値の定理より、区間[0,h]における\(g(t)\)の平均変化率は、\(0<c<h\) を満たすある実数\(c\)を用いて
$$\frac{g(h)-g(0)}{h}=g'(c)$$
と表現することができます。図形的には、[0,h]に無数に存在する\(g(t)\)の接線の中に、2点 \((0,g(0))\) と \((h,g(h))\) を結ぶ直線と並行なものが少なくとも一つは存在する、という内容になります。
上述の実数 \(c\) は \(0<c<h\) を満たし、このことと \(g'(t)\) が単調増であることを組み合わせれば、
$$g’ (0)< g’ (c)=\frac{g (h)-g (0)}{h}< g’ (h)$$
$$\Rightarrow \frac{\log x}{2}< n\log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2}< \frac{x^\frac{1}{n}}{1+x^\frac{1}{n}}\log x$$
が示され、本記事にお越しの皆様が喉から手が出るほど渇望しているであろう下側不等式が入手できます。しかも極限計算の必要すらありません。無敵です。平均値の定理が最強たる所以がここにあります。本記事を読了すると平均値の定理に足向けて寝られなくなります。今後は微分係数の下位互換とか口が裂けても言えなくなることでしょう。
下側からの評価が完了したので、あとは上側を何とかする必要がありますが、ここでも平均値の定理様のご威光にあやかることができます。先ほど求まった下側の \(\frac{1}{2}\log x\) と上側の \(\frac{x^\frac{1}{n}}{1+x^\frac{1}{n}}\log x\) を見比べて、なるべく下側と近い形式の関数になるよう意識して上側を変形します。下側の係数 \(\frac{1}{2}\) は分子が1なので、上側も揃えるために、分子分母を \(x^\frac{1}{n}\) で割ると、
$$\frac{x^\frac{1}{n}}{1+x^\frac{1}{n}}\log x = \frac{1}{x^{-\frac{1}{n}}+1}\log x$$
となり、あとは分母の \(x^\frac{-1}{n}\) の動きだけ考えればよさそうです。これは見るからに減少関数なので、積分区間[1,2]における最小値を考えれば、
$$\frac{x^\frac{1}{n}}{1+x^\frac{1}{n}}\log x = \frac{1}{x^{-\frac{1}{n}}+1}\log x \le \frac{1}{2^{-\frac{1}{n}}+1}\log x$$
と評価でき、下側と同じ定積分に収束する上側評価式がゲットできます。あとは挟んで定積分計算しておしまいです。
このように、平均値の定理を利用することで、片側評価式が極限計算不要な形で入手できるだけでなく、収束先のネタバレをヒントにしてもう片側の評価式をラクに探し当てることができるわけです。すごすぎる。平均値の定理 is 神。この方法を知ると今後はノーヒントで挟み込みの評価式を血眼で探す作業を受け付けない体質になってしまいます。脳に何かしら不可逆なダメージが加わる可能性すらあります。わずかだが脳が変異する程の負荷が平均値の定理にはある。
上記のアイディアが出てこなかった場合は、最悪(1)の不等式を素直に活用して評価するのもアリですが、この場合は積分計算後の不定形処理がそこそこ大変で、最終的には
$$n(2^\frac{1}{n}-1)=\frac{2^\frac{1}{n}-1}{\frac{1}{n}}\rightarrow (\log 2)2^0$$
という感じで微分係数の定義に帰着させる処理が必要になります。当たり前のように指数関数の微分が要求されます。ダルすぎます。作問者の意図を汲んで素直に誘導に乗った結果がこの仕打ちです。このダル重極限計算を経て心身ともに疲弊しきった状態で下側評価式をノーヒントで探すなど常軌を逸しています。こういう苦行に耐え忍べる屈強な数学星人にのみ東大の門戸は開かれるのでしょう。
ちなみに、大手予備校の解答速報などを覗いてみると、下側からの評価手法は相加相乗平均の関係を利用したものが主流なようです。与式中logの真数部分が1と\(x^\frac{1}{n}\)の相加平均であることを見抜ければ、
$$n\log \frac{1+x^\frac{1}{n}}{2}\ge n\log \sqrt{1\times x^\frac{1}{n}}=n\log x^\frac{1}{2n}=n\frac{1}{2n}\log x=\frac{\log x}{2}$$
という具合に瞬殺できるみたいです。私は最初にこの解法を目にしたとき、衝撃のあまり膝から崩れ落ちて危うく失禁しかけました。なんなんコレ。エレガントがすぎるだろ。試験中にコレに気づけた人間おるんですかね？気づいたときどんな気持ちだったんでしょうか。私だったら気づいた瞬間にエウレカって叫んで試験中でも構わず全裸で構内を走り回ると思います。
というか上記のエレガント極まる解法がさも受験数学の定石であるかのように模範解答として受験生の目に留まる状況は一周回ってどうなんですかね？インターネットの数学天上人は我々のような数学下々民を過大評価しすぎるきらいがあります。あんな解答は常日頃相加相乗平均のことだけを考えて生活してる相加相乗平均大好き人間か、あるいは先天的に脳の相加相乗を司る部位が異常発達している数学ギフテッドにしかできない芸当であって、まかり間違っても我々のような相加相乗の神に見放された持たざる者に手の届く解法ではないわけです。高望みしてはいけません。身の丈に合った解法を選択しましょう。
おわりに
今回は2025年度の東大理系数学の大問2の平均値の定理を活用した解法について解説してきました。
平均値の定理は受験数学において中間値の定理の次くらいにマイナーで目立たない定理ですが、本問のようなシチュエーションでは抜群の破壊力を発揮する有能定理でもあります。
本記事が平均値の定理の利用拡大・知名度向上の一助になれば幸いです。
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